故あって《数学を教える》ことについての本を読んでいた。目にしたものは、どれもしびれるほど面白い。

     思えば先日Amazonで一時ベストセラーになってたG. ポリア『いかにして問題をとくか』(クローズアップ現代で取り上げられてたことを教えていただいた方々遅ればせながらありがとう)だって数学書というより(そして数学啓蒙書というより)も、数学教育書だった。
     
     ところで数学について、解き方は教えられても、考え方は教えるのは無理だと考える人は今でも多い。
     そういえば、はやりの中学数学やりなおし本などでも、結局のところ「こんな風に解け」としか言っていない。まったく、あんなものどこがいいんだか。
     そうやれば解けることは分かるけれど、本当に知りたいと思うのは「どうしたらそういう手順を自前で思いつけるのか」ということなのだ。
     
     『いかにして問題をとくか』のあまりに有名な一節。
    「この解法はうまくて間違いがないように見えるけれども、どうしたらそれを思いつくことができるだろうか。この実験はうまくて事実を示すように思われるが、どうしたらそれが発見できたであろうか。どうしたら私は自分でそれを思いついたり発見したりできるであろうか」

     以下は、問題を解こうとするときの《ひらめきの筋道》といったものを、何とか伝えようとする書物たちである。


     

    Mathematics: A Very Short Introduction (Very Short Introductions)Mathematics: A Very Short Introduction (Very Short Introductions)
    (2002/10)
    Timothy Gowers

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    数学 (〈1冊でわかる〉シリーズ)数学 (〈1冊でわかる〉シリーズ)
    (2004/06/08)
    ティモシー ガウアーズ、上野 健爾 他

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     ポリアには『いかにして問題をとくか』(以下『いか問』と記す。シュタイナーの『いかにして超感覚的世界の認識を獲得するか』を『いか超』と略す流儀である)を読み終えた人にお勧めできる邦訳があと2冊あるが、それらは後に回して『いか問』よりもさらに小さな一冊を推す。
     A Very Short Introductionシリーズでは、この分量に詰め込むのは無理だろうといったテーマを(一冊なんかで分かるわけない!)、あの手この手で乗り越える手だれの技がはまると傑作が生まれる。要するに当たり外れがあるということだが、100ページ少しの紙面にどうやって数学を語ればいいのかという難問に、著者ガウアーズは正面突破を挑んでいる。あれやこれやのトピックを軽く触れて紹介してすませるのは無理。だったら、数学では/数学者は、どういう風にものを(問題を)考えるのかに集中したのだ。
     ひょっとするとA Very Short Introduction〈1冊でわかる〉シリーズで最難関の一冊かも知れないが、最良の一冊候補には必ず入る。逸品。
     なおガウアーズのホームページでMathematics: A Very Short Introductionの書かれざる/溢れてしまった数章を読むことができる。
     What to read after Mathematics: A Very Short Introduction
     http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/vsipage.html




    What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods (Oxford paperbacks)What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods (Oxford paperbacks)
    (1996/07/18)
    Richard Courant、Herbert Robbins 他

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    数学とは何か数学とは何か
    (2001/02/22)
    リチャード クーラント、ハーバート ロビンズ 他

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     上記『数学 (〈1冊でわかる〉シリーズ)』を読めば、これよりずっと重厚で内容豊富で、しかしどこか軽やかで、圧倒的に入門書であることを譲らない、あのクーラントとロビンズの共著を思い出さずにはおれない。
     露払いにして申し訳ないが、『数学 (〈1冊でわかる〉シリーズ)』を読み干した後なら、あまり気張らずにこの本に入っていけるだろう。
     原著の初版は1941年。取り上げられるトピック/素材は決して新しいものではないが、サブタイトルのとおり数学の考え方や数学者の思考過程に肉薄する本書は、掛け値なしに読むたびに発見がある作品。



    The Mathematical ExperienceThe Mathematical Experience
    (1999/01/14)
    Philip J. Davis、Reuben Hersh 他

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    数学的経験数学的経験
    (1986/12)
    P.J. デービス、R. ヘルシュ 他

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     デービスとヘルシュのこの一冊は、クーラントとロビンズの書物とともに、この方面の鉄板。
     できるだけ丁寧に易しく、数学の何たるかを伝えようとするこの本は、数学に挫折した人にこそ贈られるべき。
     『数学 (〈1冊でわかる〉シリーズ)』は、ここでも有益な補助線になる。



    Mindstorms: Children, Computers, And Powerful IdeasMindstorms: Children, Computers, And Powerful Ideas
    (1993/08/04)
    Seymour A. Papert

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    マインドストーム―子供、コンピューター、そして強力なアイデアマインドストーム―子供、コンピューター、そして強力なアイデア
    (1995/03)
    シーモア パパート

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     これまでの3冊とは毛色の違った一冊を。
     いまさら持ち出すような本か、という声が聞こえないではないが、コンピューターがもたらす、あるいはもたらしたかもしれない世界や経験や能力を、今も色褪せること無く示してみせる。
     『パーセプトロン』をパパートと共著したマーヴィン・ミンスキーは、彼を「生きている内で最も偉大な数学教育者」と呼んでいた。
     何よりパパートが、コンピュータ言語LOGOを開発したのは、子どもたちが言葉を学ぶように、自然に数学を学ぶことができる環境を生み出すためだった。
     コンピュータに入れられたテキストとテストを繰り返すことで学ぶのでなしに(CAIなんてクソくらえ)、コンピュータを(具体的にはLOGOタートルを)自在に操り、いろいろ試してみる中で発見を通じて数学をマニュピレートできるようになること。
     「知識は理解の一部でしかない。真の理解は実際に経験することなしには、ありえない」(シーモア パパート)。



    Induction and Analogy in Mathematics (Mathematics and Plausible Reasoning)Induction and Analogy in Mathematics (Mathematics and Plausible Reasoning)
    (2009/07/30)
    G. Polya

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    Mathematics and Plausible Reasoning: Patterns of Plausible InferenceMathematics and Plausible Reasoning: Patterns of Plausible Inference
    (2009/07/30)
    George Polya、Sam Sloan 他

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    数学における発見はいかになされるか〈第1〉帰納と類比 (1959年)数学における発見はいかになされるか〈第1〉帰納と類比 (1959年)
    (1959)
    ポリア

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    数学における発見はいかになされるか〈第2〉発見的推論-そのパターン (1959年)数学における発見はいかになされるか〈第2〉発見的推論-そのパターン (1959年)
    (1959)
    ジョージ・ポリア

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     ポリアは次の言葉でこの著書を始めている。
     「経験は人の信念を修正する。われわれは経験を通して学ぶのである、否むしろ進んで経験を通して学ぼうとしなければならない。経験を最大限に活用することは,われわれ人間に課せられた偉大なつとめの一つであって、このつとめのためにつくすことが,科学者本来の使命である。その名に値する科学者は、ある一定の経験からもっとも正確な信念を引き出そうとつとめ、一方では一定の問題についての正確な信念をうち立てるため、もっとも適切な経験を集めようと努力するものである。科学者が経験を処理するこの手続きは,ふつう帰納と呼ばれている。」
     
     数学的事実はまず推測され、しかる後に証明される。
     普通、教科書を含めたほとんどの《数学》書に登場するのは、このうちの後半のみである。そこ
    に紹介されている定理や性質が成り立つか、それはどう証明されるのかについて描かれてはいても,それをどのように発見したか、あるいはどのように試行錯誤したかについて触れられない。
     この『いか問』に始まる数学的発見学(heuristic)三部作の第2弾は、まさに書かれざる前半に焦点を合わせ、豊富な事例を通じて数学における発見を詳述する。なんとなれば、発見することについて簡単なマニュアルは存在せず、この実際的技能は模倣と自分で問題を解くことを通じてしか学ぶことが出来ないからである。
     



    Mathematical Discovery on Understanding, Learning, and Teaching Problem SolvingMathematical Discovery on Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving
    (2009/06/30)
    George Polya、Sam Sloan 他

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    Mathematical Discovery on Understanding, Learning, and Teaching Problem SolvingMathematical Discovery on Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving
    (2009/06/30)
    Polya George

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    数学の問題の発見的解き方 第1巻―問題解決の理解・学習・教授数学の問題の発見的解き方 第1巻―問題解決の理解・学習・教授
    (1964/10/01)
    G.ポリア

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    数学の問題の発見的解き方 第2巻―問題解決の理解・学習・教授数学の問題の発見的解き方 第2巻―問題解決の理解・学習・教授
    (1967/01/25)
    G.ポリア

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     発見に、マニュアルや普遍的アルゴリズムは存在しない。
     しかし、ポリアは言う。
    「デカルトはすべての問題を解く普遍的方法に思いをこらし、ライプニッツは完全な方法というアイデアを非常に明白に定式化した。しかし、かつて卑金属を黄金に変えると思われた哲学者の石の探求が成功しなかったように、普遍的で完全な方法の探求もまだ成功していない。世の中には、夢のままで終わらねばならぬような偉大な夢があるものなのだ。それにもかかわらず達成されなくても、このような理想は人々に感化を及ぼすであろう:まだ北極星に行った人はないけれども、この星を見て正しい進路を発見した人は多いのだ。本書は貴方がたに問題を解く普遍的で完全な方法を提供することはできない(また、今後とも、そういう本は決して出ないであろう)が、たとえ達成されなくても、少しでもその理想に向かって進むことは、貴方がたの精神を清澄にし、貴方がたの問題解決能力を増進させるであろう。」
    「本書で試みる、問題解決の手段方法についての研究を、私は発見学(heuristic)と呼びたい。発見学という言葉は、かつて哲学者の中に用いた人もあったが、今日では半ば忘れさられ、その価値も半ば疑われている。しかし、私はあえてそれを用いる。」( 第1巻p.)
     ポリアのこの書以降、ヒューリスティックスは数学的問題解決として復活を遂げた。
     数学的発見学(heuristic)三部作、第3弾。
     



    Mathematical Problem SolvingMathematical Problem Solving
    (1985/09)
    Alan Schoenfeld

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     ショーンフェルドは数学教育を学ぶ者なら誰もが参照する研究者。
     一冊あげるなら近作の
    How We Think: A Theory of Goal-Oriented Decision Making and its Educational Applications (Studies in Mathematical Thinking and Learning Series)だろうが、ポリアつながりで、ショーンフェルドの名を知らしめた出世作の一冊を。
     『いか問』を読んで、ポリアが示してくれる思考の道筋を追いかける経験は、それ自体が喜びに満ちたものだが、かといって本を読みさえすれば、そうした考え方を使えるようになる訳ではない。
     ショーンフェルドは、ポリアの本から、ヒューリスティクスを取り出して,コンパクトなリストにまとめて学生に説明し、それから,問題を解くときにリストを横において,何度もチラ見していいからと教えて、彼らがそれを使いこなせるまで持っていく。言わばポリアの発見学(heuristic)を「実装」したのだ。
     考えることを、そして考え方を伝えることは、容易ではないけれど、確かに可能であると、ショーンフェルドのこの書は我々に教える。



    ポリア以降の数学的問題解決本についても、いくつか取り上げておこう。


    The Art and Craft of Problem SolvingThe Art and Craft of Problem Solving
    (2006/08/18)
    Paul Zeitz

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    エレガントな問題解決 ―柔軟な発想を引き出すセンスと技エレガントな問題解決 ―柔軟な発想を引き出すセンスと技
    (2010/12/27)
    Paul Zeitz

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    巧みに構成された「数理的問題解決」のトレーニングブック。解説は丁寧で、ヒントの出し方も要を得ている。


    Solving Mathematical Problems: A Personal PerspectiveSolving Mathematical Problems: A Personal Perspective
    (2006/10/05)
    Terence Tao

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    数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方
    (2010/07/23)
    テレンス・タオ

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    史上最年少の12歳で数学オリンピックチャンピオンになったテレンス・タオ(陶哲軒)氏が15歳の時に書いた数学ノートを再構成したもの。タオ氏はその後も数学の才能を開花し続け、2006年にはフィールズ賞をとっている。



    How to solve problems
    How to Solve Mathematical ProblemsHow to Solve Mathematical Problems
    (1995/01/30)
    Wayne A. Wickelgren

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    問題をどう解くか―問題解決の理論 (1980年)問題をどう解くか―問題解決の理論 (1980年)
    (1980/07)
    ウェン・A.ウィケルグレン

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    認知心理学者による数学の問題解決法の入門書。
    ウィケルグレンのホームページから彼の論文がダウンロードできる。
    http://www.columbia.edu/~nvg1/Wickelgren/



    Problem-Solving Through Problems (Problem Books in Mathematics Volume 5)Problem-Solving Through Problems (Problem Books in Mathematics Volume 5)
    (1983)
    Loren C. Larson

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    数学発想ゼミナール〈1〉数学発想ゼミナール〈1〉
    (2003/06)
    ローレン・C. ラーソン

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    数学発想ゼミナール〈2〉数学発想ゼミナール〈2〉
    (2003/06)
    ローレン・C. ラーソン

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    数学発想ゼミナール〈3〉数学発想ゼミナール〈3〉
    (2003/06)
    ローレン・C. ラーソン

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    全3巻に700題を搭載した数学的問題解決の問題集。


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    How to Solve It: A New Aspect of Mathematical MethodHow to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method
    (2009/06/30)
    G. Polya

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    いかにして問題をとくかいかにして問題をとくか
    (1975/04/01)
    G. ポリア

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